Question

【題目】在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數,）．在以坐標原點為極點軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線

(1)說明是哪一種曲線，并將的方程化為極坐標方程；

(2)直線的極坐標方程為，其中滿足，若曲線與的公共點都在 上，求.

Answer 1

【答案】(1)圓； ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.(2) a＝1.

【解析】

(1)根據三角函數平方關系消參數得C1的普通方程，再根據x＝ρcos θ，y＝ρsin θ化為極坐標方程，（2）聯立極坐標方程解得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，再根據tan θ＝2化簡得1－a2＝0，解得a＝1.

(1)消去參數t得到C1的普通方程為x2＋(y－1)2＝a2，則C1是以(0，1)為圓心，a為半徑的圓．

將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的極坐標方程為ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.

(2)曲線C1，C2的公共點的極坐標滿足方程組，若ρ≠0，由方程組得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，由已知tan θ＝2，得16cos2θ－8sin θcos θ＝0，從而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1.當a＝1時，極點也為C1，C2的公共點，且在C3上．所以a＝1.