Question

如圖，P—ABC是底面邊長為1的正三棱錐,D、E、F分別為棱長PA、PB、PC上的點, 截面DEF∥底面ABC, 且棱臺DEF—ABC與棱錐P—ABC的棱長和相等.(棱長和是指多面體中所有棱的長度之和)

(1)證明：P—ABC為正四面體；

(2)若PD=PA, 求二面角D—BC—A的大小；(結果用反三角函數值表示)

(3)設棱臺DEF—ABC的體積為V, 是否存在體積為V且各棱長均相等的直平行六面體,使得它與棱臺DEF—ABC有相同的棱長和? 若存在,請具體構造出這樣的一個直平行六面體,并給出證明；若不存在,請說明理由.

 

Answer 1

答案：
解析：

【證明】(1) ∵棱臺DEF—ABC與棱錐P—ABC的棱長和相等,    ∴DE+EF+FD=PD+OE+PF.　　 又∵截面DEF∥底面ABC,    ∴DE=EF=FD=PD=OE=PF,∠DPE=∠EPF=∠FPD=60°, ∴P—ABC是正四面體.  【解】(2)取BC的中點M,連拉PM,DM.AM.    ∵BC⊥PM,BC⊥AM, ∴BC⊥平面PAM,BC⊥DM,    則∠DMA為二面角D—BC—A的平面角.    由(1)知,P—ABC的各棱長均為1,    ∴PM=AM=,由D是PA的中點,得   sin∠DMA=,∴∠DMA=arcsin. (3)存在滿足條件的直平行六面體.   棱臺DEF—ABC的棱長和為定值6,體積為V.   設直平行六面體的棱長均為,底面相鄰兩邊夾角為α,   則該六面體棱長和為6, 體積為sinα=V.   ∵正四面體P—ABC的體積是,∴0<V<,0<8V<1.可知α=arcsim(8V) 故構造棱長均為,底面相鄰兩邊夾角為arcsim(8V)的直平行六面體即滿足要求.