Question

（理）由曲線y=|x|，y=-|x|，x=2，x=-2圍成的圖形繞y軸旋轉一周所得的旋轉體的體積為V₁；滿足x²+y²≤4，x²+（y-1）²≥1，x²+（y+1）²≥1的點組成的圖形繞y軸旋轉一周所得的旋轉體的體積為V₂，試寫出V₁與V₂的一個關系式V₁：V₂=

 

．

Answer 1

分析：由于旋轉體的體積為V₁由曲線y=|x|，y=-|x|，x=2，x=-2圍成的圖形繞y軸旋轉一周所得的旋轉體，利用體積的分割法可知V1=π22×4-2×

1

3

π22 ×2=

32π

3

，
而旋轉體的體積為V₂x²+y²≤4，x²+（y-1）²≥1，x²+（y+1）²≥1的點組成的圖形繞y軸旋轉一周所得的旋轉體，利用體積分割法可以求得V2=

4

3

π23-2×

4

3

π13=8π，進而可得關系式V₁：V₂．

解答：解：因為旋轉體的體積為V₁由曲線y=|x|，y=-|x|，x=2，x=-2圍成的圖形繞y軸旋轉一周所得的旋轉體，它旋轉之后應該構成的是一個圓柱內減去兩個體積全等的圓錐的體積，即：利用體積的分割法可知V1=π22×4-2×

1

3

π22 ×2=

32π

3

，又旋轉體的體積為V₂x²+y²≤4，x²+（y-1）²≥1，x²+（y+1）²≥1的點組成的圖形繞y軸旋轉一周所得的旋轉體，它應該為一個大的球體減去兩個球半徑一樣的小的球體，即：V2=

4

3

π23-2×

4

3

π13=8π，所以可得關系式V₁：V₂=4：3．
故答案為：4：3．

點評：此題考查了球體的體積公式，圓柱的體積公式及圓錐的體積公式，還考查了學生空間的想象能力及計算技能．