Question

已知復數z₁=

3

+i，|z₂|=2，z₁×

z

2 2

是虛部為正數的純虛數．
（1）求z₁×

z

2 2

的模；
（2）求復數z₂．

Answer 1

分析：（1）由復數的模的性質，知|z1×z22|=|z₁|•|z₂|²，由此利用題設條件能夠求出z₁×

z

2 2

的模．
（2）由z₁×

z

2 2

是虛部為正數的純虛數，z₁×

z

2 2

的模是8，知z₁×

z

2 2

=8i，由此能求出復數z₂．

解答：解：（1）|z1×z22|=|z₁|•|z 22|=|z₁|•|z₂|²=8；
（2）∵z₁×

z

2 2

是虛部為正數的純虛數
∴z₁×

z

2 2

=8i，
z22=

8i

3 +i

=

8i( 3 -i)

4

=2+2

3

i，
設復數z₂=a+bi（a，b∈R）
a²-b²+2abi=2+2

3

i，
∴

a2-b2=2 2ab=2 3

，解之得

a= 3 b=1

，或

a=- 3 b=-1

，
∴z2=

3

+i，或z2=-

3

-i．

點評：本題考查復數的性質和應用，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答．