Question

設P是橢圓

x2

25

+

y2

9

=1上一點，M、N分別是兩圓：（x+4）²+y²=1和（x-4）²+y²=1上的點，則|PM|+|PN|的最小值與最大值的積為

96

．

Answer 1

分析：先確定橢圓的方焦點坐標F₁（-4，0），F₂（4，0），從而可知兩圓：（x+4）²+y²=1和（x-4）²+y²=1的圓心分別為兩焦點，由于點P為橢圓

x2

25

+

y2

9

=1上任意一點，|PF₁|+|PF₂|=10，利用圖形可求|PM|+|PN|的最小值與最大值，進而可求|PM|+|PN|的最小值與最大值的積

解答：解：∵橢圓方程為

x2

25

+

y2

9

=1上，
∴其焦點坐標為F₁（-4，0），F₂（4，0），
∵兩圓：（x+4）²+y²=1和（x-4）²+y²=1的圓心坐標分別為（-4，0），（4，0），
∴兩圓的圓心分別為橢圓的兩個焦點
∵P是橢圓

x2

25

+

y2

9

=1上一點
∴|PF₁|+|PF₂|=10，
由圖可知，|PM|+|PN|的最小值為|PF₁|+|PF₂|-2=8；
|PM|+|PN|的最大值為|PC|+|PD|=|PF₁|+|PF₂|+2=12；
∴|PM|+|PN|的最小值與最大值的積為8×12=96
故答案為：96．

點評：本題考查圓的性質和應用，考查圓與圓錐曲線的綜合，查數形結合的思想與分析轉化的數學思想，考查學生綜合分析與解決問題的能力，解題的關鍵在于靈活運用橢圓的定義，圓的性質．