Question

如圖, 是邊長(zhǎng)為的正方形，平面，，，與平面所成角為.

(Ⅰ)求證：平面；

(Ⅱ)求二面角的余弦值；

（Ⅲ）線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，試確定點(diǎn)的位置；若不存在，說(shuō)明理由。

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) 只需證 ， 。(Ⅱ)；（Ⅲ）存在點(diǎn)M，。

【解析】

試題分析：(Ⅰ)證明： 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013080412103101191990/SYS201308041211037618585166_DA.files/image006.png">平面，

所以.    2分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013080412103101191990/SYS201308041211037618585166_DA.files/image008.png">是正方形，

所以，

又相交

從而平面.    4分

(Ⅱ)解：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013080412103101191990/SYS201308041211037618585166_DA.files/image013.png">兩兩垂直，

所以建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013080412103101191990/SYS201308041211037618585166_DA.files/image015.png">與平面所成角為，

即，    5分

所以.

由可知，.   6分

則，，，，，

所以，，  7分

設(shè)平面的法向量為，則，

即，令，

則.     8分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013080412103101191990/SYS201308041211037618585166_DA.files/image010.png">平面，所以為平面的法向量，，

所以.  9分

因?yàn)槎�面角為銳角，所以二面角的余弦值為.   10分

(Ⅲ)解：點(diǎn)是線段上一個(gè)點(diǎn)，設(shè).

則，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013080412103101191990/SYS201308041211037618585166_DA.files/image044.png">平面，

所以，                                     11分

即，解得.                      12分

此時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為，故存在點(diǎn)M，，符合題意.   13分

考點(diǎn)：線面垂直的性質(zhì)定理；線面垂直的判定定理；二面角；線面平行的判定定理。

點(diǎn)評(píng)：線面垂直的常用方法：

①線線垂直Þ線面垂直

若一條直線垂直平面內(nèi)兩條相交直線，則這條直線垂直這個(gè)平面。

即

②面面垂直Þ線面垂直

兩平面垂直，其中一個(gè)平面內(nèi)的一條直線垂直于它們的交線，則這條直線垂直于另一個(gè)平面。

即

③兩平面平行，有一條直線垂直于垂直于其中一個(gè)平面，則這條直線垂直于另一個(gè)平面。

即

④兩直線平行，其中一條直線垂直于這個(gè)平面，則另一條直線也垂直于這個(gè)平面。

   即