Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，CD₁與DC₁相交于點O，求證：AO⊥A₁B．

Answer 1

分析：連接B₁A，根據AD⊥平面AA₁B₁B，得到A₁B⊥AD．根據正方形AA₁B₁B中對角線互相垂直，得AB₁⊥A₁B，從而得到AB₁⊥平面ADC₁B₁，再由AO?平面ADC₁B₁，得到AO⊥A₁B．

解答：解：連接B₁A，
∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD⊥平面AA₁B₁B，A₁B?平面AA₁B₁B，
∴A₁B⊥AD
∵正方形AA₁B₁B中，AB₁⊥A₁B，且AB₁∩AD=A
∴AB₁⊥平面ADC₁B₁
∵AO?平面ADC₁B₁，
∴AO⊥A₁B．

點評：本題在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，求證異面直線互相垂直，著重考查了正方體的性質和空間線面垂直的判定與性質等知識，屬于基礎題．