Question

設正實數x，y，z滿足x²-3xy+4y²-z=0，則

xy

z

取得最大值時，

2

x

+

1

y

+

2

z

的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：基本不等式在最值問題中的應用

專題：計算題,不等式的解法及應用

分析：由題意，z=x²-3xy+4y²，代入

xy

z

化簡可得

1

x y +4 y x -3

，從而得

xy

z

的最大值是1，此時x=2y，從而代入

2

x

+

1

y

+

2

z

可化得

2

x

+

1

y

+

2

z

=

2

2y

+

1

y

+

2

2y2

=（

1

y

+1）²-1，從而求其取值范圍．

解答： 解：由題意，z=x²-3xy+4y²，
則

xy

z

=

xy

x2-3xy+4y2

=

1

x y +4 y x -3

，
∵

x

y

+4

y

x

≥4，（當且僅當x=2y時，等號成立），
則

xy

z

的最大值為1．
此時，z=xy，x=2y；
則

2

x

+

1

y

+

2

z

=

2

2y

+

1

y

+

2

2y2

=（

1

y

+1）²-1，
∵x，y，z都是正實數，
∴

1

y

+1＞1，
∴（

1

y

+1）²-1＞0，
故（

1

y

+1）²-1的取值范圍為（0，+∞），
故答案為：（0，+∞）．

點評：本題考查了基本不等式的應用，屬于中檔題．