Question

已知橢C：+=1（a＞b＞0）的焦點為F₁，F₂，P是橢圓上任意一點，若以坐標原點為圓心，橢圓短軸長為直徑的圓經過橢圓的焦點，且△PF₁F₂的周長為4．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設直線的l是圓O：x²+y²=上動點P（x，y）（x-y≠0）處的切線，l與橢圓C交于不同的兩點Q，R，證明：∠QOR的大小為定值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據以坐標原點為圓心，橢圓短軸長為直徑的圓經過橢圓的焦點，可得b=c，利用△PF₁F₂的周長為4，可得a+c=，從而可求橢圓的幾何量，進而可得橢圓C的方程；
（Ⅱ）設直線的l方程與橢圓方程聯立，記Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂），利用韋達定理，確定x₁x₂+y₁y₂=0，即可證得結論．
解答：（Ⅰ）解：因為以坐標原點為圓心，橢圓短軸長為直徑的圓經過橢圓的焦點，所以b=c，可得a=c，
又因為△PF₁F₂的周長為4，所以a+c=，所以c=，
所以a=2，b=，所以所求橢圓C的方程為．       …（5分）
（Ⅱ）證明：直線的l方程為，且x²+y²=，記Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂），
聯立方程，消去y得（）x²-x+=0，
∴x₁+x₂=，x₁x₂=，…（8分）
∴=，…（10分）
∴x₁x₂+y₁y₂=+=0
∴∠QOR=90°為定值．                                            …（13分）
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查學生的計算能力，正確運用韋達定理是關鍵．