Question

如果存在正實數a，使得f（x-a）為奇函數，f（x+a）為偶函數，我們稱函數f（x）為“和諧函數”．則下列函數是“和諧函數”有________．（把所有正確的序號都填上）
①f（x）=（x-1）²+5
②f（x）=cos2（x-）
③f（x）=sinxcosx
④f（x）=ln|x+1|．

Answer 1

0個
分析：①由f（0）=6≠0，故無論正數a取什么值，f（x-a）都不是奇函數，因此函數f（x）不可能是“和諧函數”；
②先化簡f（x）=sin2x，因為只有將函數f（x）的圖象向左或向右平移的整數倍時，才為奇函數或偶函數，代入進行驗證看是否符合“和諧函數”的定義即可；
③由f（x）=sinxcosx=，所以同②；
④只有f（x-1）=ln|x|為偶函數；而f（x+1）=ln|x+2|為非奇非偶函數，故可得出答案．
解答：①由f（x）=（x-1）²+5，∴f（x+1）=x²+5是偶函數，∵f（0）=6≠0，∴無論正數a取什么值，f（x-a）都不是奇函數，函數f（x）不可能是“和諧函數”；
②∵f（x）=cos（2x-）=sin2x，
∴當時，f（x±a）=sin=±cos2x為偶函數；
當時，f（x±a）=sin（2x±（2kπ±π））=±sinx為奇函數．
因為只有將函數f（x）的圖象向左或向右平移的整數倍時，才為奇函數或偶函數，故不存在正數a使得函數f（x）是“和諧函數”．
③∵f（x）=sinxcosx=，同②；
④∵f（x）=ln|x+1|，∴只有f（x-1）=ln|x|為偶函數；而f（x+1）=ln|x+2|為非奇非偶函數，故不存在正數a使得函數f（x）是“和諧函數”．
綜上可知：①②③④都不是“和諧函數”．
故答案為0個．
點評：正確理解“和諧函數”的意義是解題的關鍵．