Question

(本小題滿分13分) 已知命題p：x∈A＝{x|a－1＜x＜a＋1，x∈R}，命題
q：x∈B＝{x|x²－4x＋3≥0}．   
(1)或A∩B＝∅，A∪B＝R，求實數a
(2)若是p的必要條件，求實數a.

Answer 1

(1) a＝2；(2) a＝2

本試題主要考查了命題的真值，以及集合的運算的綜合運用，以及二次不等式的求解問題。
（1）由題意得B＝{x|x≥3或x≤1}，-------2分
由A∩B＝∅，A∪B＝R，可知A＝∁_RB＝(1,3)從而得到結論。
（2）∵B＝{x|x≥3或x≤1}，∴：x∈{x|1＜x＜3}．--------8分
∵是p的必要條件．即p⇒，
那么可以得到集合間的關系，A⊆∁_RB＝(1,3)，從而得到參數a的范圍。
解：(1)由題意得B＝{x|x≥3或x≤1}，-------2分
由A∩B＝∅，A∪B＝R，可知A＝∁_RB＝(1,3)--------4分
∴⇒a＝2---------6分
(2)∵B＝{x|x≥3或x≤1}，∴：x∈{x|1＜x＜3}．--------8分
∵是p的必要條件．即p⇒，
∴A⊆∁_RB＝(1,3)-------10分
∴⇒2≤a≤2⇒a＝2.--------13分