Question

一彈簧掛著小球作上下振動，經研究表明，時間x（s）與小球相對于平衡位置的高度y（cm）=f（x）的函數關系式符合某一正弦曲線f（x）=Asin（ωx+φ） （其中Α＞0，ω＞0，|φ|≤π），且離平衡位置最高點為（2，

2

），由最高點到相鄰下一次圖象交x軸于點（6，0）；  （1）求經多少時間小球往復振動一次？（2）確定g（x）表達式，使其圖象與f（x）關于直線x=1對稱．

Answer 1

分析：由題意求出A，T，利用周期公式求出ω，結合函數的圖象經過的特殊點，以及|φ|≤π，求出φ，得到函數的解析式．
（1）利用周期即可求出經多少時間小球往復振動一次．
（2）利用對稱知識求出g（x）表達式，使其圖象與f（x）關于直線x=1對稱．

解答：解：由題意正弦曲線f（x）=Asin（ωx+φ） （其中Α＞0，ω＞0，|φ|≤π），
且離平衡位置最高點為（2，

2

），由最高點到相鄰下一次圖象交x軸于點（6，0）； 
 可知A=

2

，T=16，所以ω=

π

8

，因為函數經過（6，0）；
所以 0=

2

sin（

π

8

×6+φ），φ=

π

4

，f（x）=

2

sin（

π

8

x+

π

4

）．
（1）有函數的周期可知，求經16，小球往復振動一次．
（2）f（x）關于直線x=1對稱．所以（x，y）與（2-x，y）關于x=1對稱，
所以所求的解析式g（x）=

2

sin（-

π

8

x+

π

2

）=

2

cos

π

8

x．
即g（x）=

2

cos

π

8

x．

點評：本題是中檔題，考查三角函數的解析式的求法，考查函數的基本知識的應用，考查計算能力．