Question

在△ABC中，若AB⊥AC，AD⊥BC于D，則

1

AD2

=

1

AB2

+

1

AC2

．在四面體A-BCD中，若AB，AC，AD兩兩垂直，AH⊥底面BCD，垂足為H，則類似的結論是什么？并說明理由．

Answer 1

分析：利用平面中的射影定理證明；將平面中的三角形類比成空間的三棱錐，三角形的兩邊垂直類比成三棱錐的三棱垂直，得到類比性質通過作輔助線將空間的證明問題轉化為三角形中的性質．

解答：解：類似的結論是：如圖，在四面體A-BCD中，若AB，AC，AD兩兩垂直，AH⊥底面BCD，垂足為H，則

1

AH2

=

1

AB2

+

1

AC2

+

1

AD2

．                    …（4分）
證明如下：
連接BH并延長交CD于E，連接AE．∵AB，AC，AD兩兩垂直，
∴AB⊥平面ACD．又∵AE?平面ACD，∴AB⊥AE．
在Rt△ABE中，有

1

AH2

=

1

AB2

+

1

AE2

．     ①…（8分）
又易證CD⊥AE，
∴在Rt△ACD中，

1

AE2

=

1

AC2

+

1

AD2

． ②…（10分）
將②代入①得 

1

AH2

=

1

AB2

+

1

AC2

+

1

AD2

．…（12分）

點評：本題考查利用類比推理得到結論、證明類比結論時證明過程與其類比對象的證明過程類似或直接轉化為類比對象的結論．