Question

（本題滿分18分）第（1）小題滿分6分，第（2）小題滿分6分，第（3）小題滿分6分。

圓錐曲線上任意兩點連成的線段稱為弦。若圓錐曲線上的一條弦垂直于其對稱軸，我們將該弦稱之為曲線的垂軸弦。已知點、是圓錐曲線C上不與頂點重合的任意兩點，是垂直于軸的一條垂軸弦，直線分別交軸于點和點。

（1）試用的代數式分別表示和；

（2）若C的方程為（如圖），求證：是與和點位置無關的定值；

（3）請選定一條除橢圓外的圓錐曲線C，試探究和經過某種四則運算（加、減、乘、除），其結果是否是與和點位置無關的定值，寫出你的研究結論并證明。

（說明：對于第3題，將根據研究結論所體現的思維層次，給予兩種不同層次的評分）

Answer 1

（1）因為是垂直于軸的一條垂軸弦，所以

                 則 ……………. 2分

         令則……………. 4分

         同理可得：，……………. 6分

（2）由（1）可知：……………. 8分

         在橢圓C：上，，

           則（定值）

是與和點位置無關的定值         …………. 12分

（3）第一層次：

①點是圓C：上不與坐標軸重合的任意一點，是垂直于軸的垂軸弦，直線分別交軸于點和點，則。……………. 16分

證明如下：由（1）知：  

         在圓C：上，，

           則

是與和點位置無關的定值

②點是雙曲線C：上不與頂點重合的任意一點，是垂直于軸的垂軸弦，直線分別交軸于點和點，則。……………. 16分

證明如下：由（1）知：  

         在雙曲線C：上，，

           則

是與和點位置無關的定值

第二層次：

點是拋物線C：上不與頂點重合的任意一點，是垂直于軸的垂軸弦，直線分別交軸于點和點，則。…………. 18分      

證明如下：由（1）知： ，

在拋物線C：上，

則

是與和點位置無關的定值