Question

已知函數f（x）=log₂（a-2^x）+x-2，若f（x）存在零點，則實數a的取值范圍是

1. A.
   （-∞，-4]∪[4，+∞）
2. B.
   [1，+∞）
3. C.
   [2，+∞）
4. D.
   [4，+∞）

Answer 1

D
分析：根據函數零點與對應方程根之間的關系，我們可將f（x）存在零點轉化為方程log₂（a-2^x）=2-x有根，結合對數方程和指數方程的解法，我們可將他轉化為一個二次方程根的存在性總是，再根據二次方程根的個數與△的關系及韋達定理，我們易構造一個關于a的不等式，解不等式即可求出實數a的取值范圍．
解答：若f（x）存在零點，
則方程log₂（a-2^x）=2-x有根
即2^2-x=a-2^x有根，
令2^x=t（t＞0）
則原方程等價于=a-t有正根
即t²-at+4=0有正根，
根據根與系數的關系t₁t₂=4＞0，
即若方程有正根，必有兩正根，
故有
∴a≥4．
故選D
點評：本題考查的知識點是函數零點的判定定理，其中根據指數方程和對數方程的解法，將函數對應的方程轉化為一個二次方程是解答的關鍵．