Question

【題目】已知函數f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣2．

（1）若曲線f（x）=xlnx在x=1處的切線與函數g（x）=﹣x2+ax﹣2也相切，求實數a的值；

（2）求函數f（x）在上的最小值；

（3）證明：對任意的x∈（0，+∞），都有成立

Answer 1

【答案】（1）3或-1；（2）見解析；（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）求出函數的導數，計算的值，求出切線方程，再利用判別式為零即可的結果；（2）求出函數的導數，通過討論的范圍，求出函數的單調區間，從而求出的最小值即可；（3）設，求出的導數, 求出的最大值，得到恒成立，從而證明結論即可.

試題解析：（1）f′（x）=lnx+x=lnx+1 ，

時， ， ，

故 在 處的切線方程是： ，

聯立，

消去y得： ，

由題意得： ，

解得： 或 ；

（2）由（1）得： ，

x∈（0，）時， ， 遞減，

x∈（，+∞）時， ，遞增，

①0＜t＜t+≤，即0＜t≤﹣時，

f（x）min=f（t+）=（t+）ln（t+），

②0＜t＜＜t+，即﹣＜t＜時，

f（x）min=f（）=﹣；

③≤t＜t+，即 時， f（x）在遞增，

；

綜上，f（x）min=；

（3）證明：設m（x）=﹣，（x∈（0，+∞）），則m′（x）=，

時， ，遞增，

時， ， 遞減，

可得m（x）max=m（1）=﹣，當且僅當 時取到，

由（2）得 ，（ ）的最小值是﹣，

當且僅當x=時取到，

因此 時，f（x）min≥﹣≥m（x）max恒成立，

又兩次最值不能同時取到，

故對任意 ，都有成立．

【方法點晴】本題主要考查利用導數求曲線切線、利用導數研究函數的單調性以及不等式證明問題，屬于難題.求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導數，即在點 出的切線斜率（當曲線在處的切線與軸平行時，在 處導數不存在，切線方程為）；（2）由點斜式求得切線方程.