Question

已知拋物線：和點，若拋物線上存在不同兩點、滿足．

（1）求實數的取值范圍；

（2）當時，拋物線上是否存在異于、的點，使得經過、、三點的圓和拋物線在點處有相同的切線，若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

（本小題主要考查直線與圓錐曲線等基礎知識，考查數形結合的數學思想方法，以及推理論證能力.運算求解能力）

解法1：（1）不妨設A，B，且，　 ∵，∴．

∴，．…………………4分

∵（），即，

∴，即的取值范圍為．…………………6分

（2）當時，由（1）求得.的坐標分別為.．

假設拋物線上存在點（且），…………8分

使得經過..三點的圓和拋物線在點處有相同的切線．

設經過..三點的圓的方程為，

則

整理得 ．　　　 ①…………9分

∵函數的導數為，

∴拋物線在點處的切線的斜率為，

∴經過..三點的圓在點處的切線　斜率為．………10分

∵，∴直線的斜率存在．

∵圓心的坐標為，

∴，

即．　　　 ②…………………12分

∵，由①.②消去，得．

即．

∵，∴．

故滿足題設的點存在，其坐標為．…………………14分

解法2：（1）設，兩點的坐標為，且。

∵，可得為的中點，

即．…………………2分

顯然直線與軸不垂直，

設直線的方程為，　 即，…………………3分

將代入中，

得． …………………4分

∴ ∴．

故的取值范圍為．　　 …………………6分

（2）當時，由（1）求得，的坐標分別為． 　

假設拋物線上存在點（且），

使得經過..三點的圓和拋物線在點處有相同的切線．

設圓的圓心坐標為，

∵　

∴　 即　　　 　　　 …………………8分

解得　 …………………10分

∵拋物線在點處切線的斜率為，

而，且該切線與垂直，∴．　

即． …………………12分

將，代入上式，

得．

即．　 ∵且，∴．

故滿足題設的點存在，其坐標為 ． …………………14分