Question

某一種大型商品在A、B兩地出售，且價格相同.某地居民從兩地之一購得商品后運回的費用是:按單位距離計算，A地的運費是B地運費的3倍，已知A、B兩地距離10 km.顧客選擇A或B地購買這件商品的標準是:包括運費的總費用較低.求A、B兩地的售貨區域的分界線的曲線形狀，并指出曲線上、曲線內、曲線外的居民應如何選擇購貨地點.

Answer 1

以點C(－,0)為圓心，為半徑的圓是兩地購貨區域的分界線，圓C內的居民從A地購貨便宜；圓C外的居民從B地購貨便宜；圓C上的居民從A、B兩地購貨的總費用相等，因此可以隨意從A地、B地之一購貨.

以A、B所確定的直線為x軸，A、B中點O為原點，建立坐標系.
∵AB=10，
∴A(－5，0)、B(5，0).設某地P的坐標為(x,y)，且P地居民選擇A地購買商品便宜，并設A地的運費為3a元/千米，則B地運費為a元/千米.
∵P地居民的購貨總費用滿足條件:
價格+A地運費≤價格+B地運費，即
3a≤a,
兩邊平方整理得(x+)²+y²≤()².
∴以點C(－,0)為圓心，為半徑的圓是兩地購貨區域的分界線，圓C內的居民從A地購貨便宜；圓C外的居民從B地購貨便宜；圓C上的居民從A、B兩地購貨的總費用相等，因此可以隨意從A地、B地之一購貨.