Question

（1）已知p：|x-3|≤2，q：（x-m+1）（x-m-1）≤0，若￢p是￢q的充分而不必要條件，求實數m的取值范圍．
（2）已知命題p：“?x∈[1，2]，x²-a≥0”，命題q：“?x∈R，使x²+2ax+2-a=0”，若命題“p且q”是真命題，則實數a的取值范圍是

{a|a＞-2且a≠1}

．

Answer 1

分析：（1）根據絕對值不等式及一元二次方程的解法，分別化簡對應條件，若非p是非q的充分不必要條件，則q 是p的充分不必要條件，從而求出m的范圍；
（2）求出命題p與q成立時，a的范圍，然后推出命題P且q是假命題的條件，推出結果．

解答：解：（1）∵由p：|x-3|≤2⇒1≤x≤5；
命題q：（x-m+1）（x-m-1）≤0，得（x-m）²≤1，得-1+m≤x≤1+m，
因為?p是?q的充分不必要條件
所以q是p的充分不必要條件，
所以

m-1≥1 1+m≤5

，得2≤m≤4．
∴m的范圍為：[2，4]．
（2）命題p：“?x∈[1，2]，x²-a≥0”，a≤1；
命題q：“?x∈R”，使“x²+2ax+2-a=0”，所以△=4a²-4（2-a）≥0，所以a≥1或a≤-2；
命題P且q是假命題，兩個至少一個是假命題，
當兩個命題都是真命題時，

a≤1 a≥1或a≤-2

，解得{a|a≤-2或a=1}．
所以所求a的范圍是{a|a＞-2且a≠1}．
故答案為：{a|a＞-2且a≠1}．

點評：本題考查絕對值不等式的解法，必要條件、充分條件與充要條件的判斷，復合命題的真假的判斷，屬于中檔題．