Question

本市某區大力開展民心工程，近幾年來對全區am²的老房子進行平改坡．且每年平改坡面積的百分比相等，若改造到面積的一半時，所用時間需10年．已知到今年為止，平改坡剩余面積為原來的

2

2

．
（1）問到今年為止，該平改坡工程已進行了多少年？
（2）若通過技術創新，至少保留

a

4

 m2的老房子開辟新的改造途徑．今后最多還需平改坡多少年？

Answer 1

分析：（1）設每年平改坡的百分比為b（0＜b＜1），根據若改造到面積的一半時，所用時間需10年建立等式關系求出1-b，然后設到今年為止，該工程已經進行了x年，建立等式關系，解之即可求出x，得到答案；
（2）設今后最多還需平改坡y年，然后根據至少保留

a

4

 m2的老房子建立等式，解指數方程即可．

解答：解：（1）設每年平改坡的百分比為b（0＜b＜1），則a (1-b)10=

1

2

a⇒1-b=(

1

2

)

1

10

．
設到今年為止，該工程已經進行了x年，則a (1-b)x=

2

2

a⇒(

1

2

)

x

10

=(

1

2

)

1

2

⇒x=5．
故到今年為止，該工程已經進行了5年．
（2）設今后最多還需平改坡y年，則a (1-b)y+5=

1

4

a⇒(

1

2

)

y+5

10

=(

1

2

)2⇒y=15．
故今后最多還需平改坡15年．

點評：本題主要考查了數列的應用，以及指數方程的求解，同時考查了計算能力，屬于中檔題．