Question

選修4-5：不等式選講
設f（x）=|x+1|+|x-3|．
（1）解不等式f（x）≤3x+4；
（2）若不等式f（x）≥m的解集為R，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）轉化函數的表達式為分段函數的形式，結合x的范圍，分別求解不等式的解集，然后求出并集即可．
（2）利用絕對值的幾何意義，求出函數的最小值，即可求出m的范圍．

解答：選修4-5：不等式選講
解：（1）因為f（x）=|x+1|+|x-3|．
所以f(x)=

-2x+2，x＜-1 4，-1≤x≤3 2x-2，x＞3

，
所以原不等式f（x）≤3x+4；
等價于
①

x＜-1 -2x+2≤3x+4

或②

-1≤x≤3 4≤3x+4

或③

x＞3 2x-2≤3x+4

，
解得①無解，②0≤x≤3，③x＞3，
因此不等式的解集為：{x|x≥0}．
（2）由于不等式f（x）≥m的解集為R，所以f（x）_min≥m，
又f（x）=|x+1|+|x-3|≥|x+1+3-x|=4，即f（x）_min=4，
所以m≤4，即m的取值范圍為（-∞，4]．

點評：本題考查絕對值不等式的解法，分類討論思想的應用，考查分析問題解決問題的能力．