Question

【題目】已知函數.（是自然對數的底數）

（1）求的單調遞減區間；

（2）若函數，證明在上只有兩個零點.（參考數據：）

Answer 1

【答案】（1）（k∈Z）．（2）見解析.

【解析】

（1）由f'（x）＜0得，利用正弦函數的單調性質可得f（x）的單調遞減區間；

（2）依題意可得g'（x）＝ex（sinx+cosx）﹣2，分析其單調情況并作出圖象，利用零點存在性定理可得，g（x）在（x1，x2）和（x2，π）內各有一個零點，從而可證得結論成立．

（1）f（x）＝exsinx，定義域為R.．

由f'（x）＜0得，解得（k∈Z）．

∴f（x）的單調遞減區間為（k∈Z）．

（2）∵g'（x）＝ex（sinx+cosx）﹣2，∴g'（x）＝2excosx．

∵x∈（0，π），∴當時，g'（x）＞0；當時，g'（x）＜0．

∴g'（x）在上單調遞增，在上單調遞減，

又∵g'（0）＝1﹣2＜0，，g'（π）＝﹣eπ﹣2＜0，

∴g'（x）在（0，π）上圖象大致如右圖．

∴，，使得g'（x1）＝0，g'（x2）＝0，

且當x∈（0，x1）或x∈（x2，π）時，g'（x）＜0；當x∈（x1，x2）時，g'（x）＞0．

∴g（x）在（0，x1）和（x2，π）上單調遞減，在（x1，x2）上單調遞增．

∵g（0）＝0，∴g（x1）＜0．

∵，∴g（x2）＞0，

又∵g（π）＝﹣2π＜0，由零點存在性定理得，g（x）在（x1，x2）和（x2，π）內各有一個零點，

∴函數g（x）在（0，π）上有兩個零點．