Question

如圖，在體積為V₁的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分別為所在邊的中點，正方體的外接球的體積為V，則下面命題中假命題是（　　）

• A、BD₁=

  3

  AB
• B、

  V

  V1

  =

  3

  2

  π；
• C、BD₁與底面ABCD所成角是45°
• D、MN∥平面D₁BC

Answer 1

分析：由題意求出BD₁，即可判斷A的正誤；求出幾何體的體積比，即可判斷B的正誤；直徑求出BD₁與底面ABCD所成角判斷C的正誤；通過直線與平面的平行判斷D的正誤；

解答：解：由題意可知，正方體的對角線為BD₁=

3

AB，A正確；
外接球的體積與正方體的體積的比：

V

V1

=

4π 3 ( 3 AB 2 )3

(AB)3

=

3

2

π，B正確；
BD₁與底面ABCD所成角小于45°，所以C錯誤；
在BC上取中點，與M，N連接的平面，與平面D₁BC平行，即可證明MN∥平面D₁BC，D正確．
故選C

點評：本題是基礎題，考查球與正方體的關系，直線與平面的位置關系，考查空間想象能力，計算能力，常考題目．