Question

設二次函數 y=f（x）=ax²+bx+c的圖象以y軸為對稱軸，已知a+b=1，而且若點（x，y）在 y=f（x）的圖象上，則點（x，y²+1）在函數 g（x）=f[f（x）]的圖象上．
（1）求g（x）的解析式；
（2）設F（x）=g（x）-λf（x），問是否存在這樣的l（λ∈R），使f（x）在內是減函數，在（，0）內是增函數．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據二次函數 f（x）=ax²+bx+c的圖象以y軸為對稱軸，得到b=0，，又a+b=1，求得a=1，再根據點（x，y）在 y=f（x）的圖象上，則點（x，y²+1）在函數 g（x）=f[f（x）]的圖象上，代入，即可求得c的值，從而求得函數g（x）的解析式；
（2）根據（1）的結果，假設存在λ滿足題意，即說明是函數的一個極小值點，求導，即是導函數的一個零點，解方程即可求得λ的值，注意驗證．
解答：解：（1）∵二次函數 f（x）=ax²+bx+c的圖象以y軸為對稱軸，
∴b=0，又∵a+b=1，∴a=1，
∴f（x）=x²+c，
∵點（x，y）在 y=f（x）的圖象上，則點（x，y²+1）在函數 g（x）=f[f（x）]的圖象上，
∴y²+1=（x+c）²+c，即（x²+c）²+1=（x+c）²+c，
c=1，
∴f（x）=x²+1；g（x）=（x²+1）²+1；
（2）假設存在λ，使得F（x）在（內是減函數，在（，0）內是增函數，
而是函數的一個極小值點，F（x）=（x²+1）²+1-λ（x²+1），
F′（x）=4x（x²+1）-2λx，∴F（）=0，解得λ=3，
經檢驗知λ=3復合題意，
故λ=3．
點評：此題是個中檔題．考查待定系數法求函數解析式，以及利用導數研究函數的單調性和極值問題，體現了轉化的思想，其中問題（2）是一個開放性問題，考查了同學們觀察、推理以及創造性地分析問題、解決問題的能力．