Question

將編號為1、2、3的三個小球放入編號為甲、乙、丙的三個盒子中，每盒放入一個小球，已知1號小球放入甲盒，2號小球放入乙盒，3號小球放入丙盒的概率分別為

3

5

，

1

2

，p，記1號小球放入甲盒為事件A，2號小球放入乙盒為事件B，3號小球放入丙盒為事件C，事件A、B、C相互獨立．
（Ⅰ）若p=

1

2

，求事件A、B、C中至少有兩件發生的概率；
（Ⅱ）若事件A、B、C中恰有兩件發生的概率不低于

2

5

，求p的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）根據三個事件相互獨立，可以得到三個事件至少有兩件發生包括四種情況，即有兩件發生和三件發生，根據相互獨立事件同時發生的概率公式和互斥事件的概率公式得到結果．
（II）利用相互獨立事件同時發生的概率公式寫出事件恰有兩件發生的概率，得到關于p的不等式，解出不等式得到結果，注意概率本身的范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵事件A、B、C相互獨立
∴事件A、B、C中至少有兩件發生的概率為P(A)P(B)P(

.

C

)+P(A)P(

.

B

)P(C)+P(

.

A

)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)
=

3

5

×

1

2

×

1

2

+

3

5

×

1

2

×

1

2

+

2

5

×

1

2

×

1

2

+

3

5

×

1

2

×

1

2

=

11

20

…（6分）
（Ⅱ）依題意有P(A)P(B)P(

.

C

)+P(A)P(

.

B

)P(C)+P(

.

A

)P(B)P(C)≥

2

5

…（9分）
即

3

5

×

1

2

×(1-p)+

3

5

×

1

2

×p+

2

5

×

1

2

×p≥

2

5

∴

2p

10

≥

1

10

解得p≥

1

2

…（11分）
∵p≤1
所以p的取值范圍是[

1

2

，1]…（12分）

點評：本題考查相互獨立事件同時發生的概率公式和互斥事件的概率公式以及概率的性質，本題解題的關鍵是認識事件的關系，不要忽略掉概率本身的性質，本題是一個基礎題．