Question

如圖，橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的四個頂點為A₁，A₂，B₁，B₂，兩焦點為F₁，F₂，若以F₁F₂為直徑的圓內切于菱形A₁B₁A₂B₂，切點分別為A，B，C，D，則菱形A₁B₁A₂B₂的面積S₁與矩形ABCD的面積S₂的比值

S1

S2

=（　　）

A． 5 +1 2

B．2 5 -2

C． 5 +2 2

D． 5 -1 2

Answer 1

菱形A₁B₁A₂B₂的面積S₁=2ab，
設矩形ABCD，BC=2m，BA=2n，∴

m

n

=

a

b

∵m²+n²=c²，∴m=

ac

a2+b2

，n=

bc

a2+b2

∴面積S₂=4mn=4•

abc2

a2+b2

∴

S1

S2

=

a2+b2

2c2

∵

c

a

=

b

a2+b2

，b²=a²-c²
∴a⁴-a²c²+c⁴=0
∴a⁴-3a²c²+c⁴=0
∴

a2

c2

=

3+ 5

2

，

b2

c2

=

1+ 5

2

，
∴

S1

S2

=

a2+b2

2c2

=

5 +2

4

．
故選C．