Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥AC，PC⊥BC，M為PB的中點，D為AB的中點，且△AMB為正三角形．
（1）求證：BC⊥平面PAC；
（2）若BC=4，PB=10，求四棱錐C-ADMP的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（1）要證BC⊥平面PAC，只需證明BC與平面PAC內的兩條相交直線PA、PC垂直，利用直線與平面垂直的判定定理證明即可；
（2）利用四棱錐C-ADMP的體積=V_P-ABC-V_M-BCD，即可求得結論．

解答： （1）證明：在正△AMB中，D是AB的中點，∴MD⊥AB．
∵M是PB的中點，D是AB的中點，∴MD∥PA，故PA⊥AB．
又PA⊥AC，AB∩AC=A，AB，AC?平面ABC，
∴PA⊥平面ABC．
∵BC?平面ABC，∴PA⊥BC，
又PC⊥BC，PA∩PC=P，PA，PC?平面PAC，
∴BC⊥平面PAC．…（8分）
（2）解：∵△AMB為正三角形，∴AB=MB=5．…（9分）
∵BC=4，BC⊥AC，∴AC=3．
∵PB=10，M是PB的中點，∴MB=5．
∵△AMB為正三角形，∴AB=MB=5．…8分
∵BC=4，BC⊥AC，∴AC=3．
∴S_△BCD=

1

2

S△ABC=

1

2

×

1

2

×3×4=3．…9分
∵MD=

52-( 5 2 )2

=

5 3

2

，
由（1）知MD∥PA，∴MD⊥DC．
在△ABC中，CD=

1

2

AB=

5

2

，
∴S_△MCD=

1

2

×

5 3

2

×

5

2

=

25 3

8

．…10分
∴V_M-BCD=V_B-MCD=

1

3

×3×

5 3

2

=

5 3

2

，
在Rt△PCB中，PC=

PB2-BC2

=

84

，PA=2MD=5

3

故V_P-ABC=

1

3

×

1

2

×AC×BC×PA=

1

3

×

1

2

×3×4×5

3

=10

3

∴四棱錐C-ADMP的體積=V_P-ABC-V_M-BCD=10

3

-

5 3

2

=

15 3

2

…12分．

點評：本題考查直線與平面垂直的判斷與證明，考查四棱錐的體積，考查空間想象能力以及邏輯推理能力，屬于中檔題．