Question

【題目】已知函數，其中，記函數的定義域為.

(1)求函數的定義域；

(2)若函數的最大值為2，求的值；

(3)若對于內的任意實數,不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）定義域為;(2) ;(3) .

【解析】試題分析：（1）根據函數的解析式，列出不等式組，即可求解函數的定義域；

（2）根據對數的運算，得，再利用二次函數的性質，即可得到函數的最大值，進而求解實數的值；

（3）由題意在恒成立，轉化為在恒成立，

設，再利用換元法和基本不等式，即可求解函數的最小值，進而得到實數的取值范圍.

試題解析：

（1）要使函數有意義：則有，解得－2＜x＜1

∴ 函數的定義域為.

（2）

因為

所以

因為，所以，

即，

由，得，

（3）由在恒成立，

得

因為，所以

所以在恒成立

設，令

則

即，因為，

所以（當且僅當時，取等號

所以

所以 .