Question

【題目】已知三棱錐的體積為1.在側棱上取一點，使，然后在上取一點，使，繼續在上取一點，使，……按上述步驟，依次得到點，記三棱錐的體積依次構成數列，數列的前項和.

（1）求數列和的通項公式；

（2）記，為數列的前項和，若不等式對一切恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）．；（2）．

【解析】

（1）由三棱錐的體積公式可得是等比數列，從而可求得其通項公式，利用可求得，但要注意；

（2）用錯位相減法求得，化簡不等式，分離參數，轉化為求函數的最值．

（1）由題意，∴，

三棱錐的體積就是三棱錐的體積，它們都以為底面，因此它們的體積比等于它們高的比，即到平面的距離之比，又都在直線上，

所以點到平面的距離之比就等于棱長的比，

∴，，，

∴．

，則，

時，，也適合．

∴．

（2）由（1），

，

，

兩式相減得：

，

∴．

不等式為，即，

設，

則

，

∴當時，遞增，當，遞減，是中的最大項，．

不等式對恒成立，

則，∴或．

故的范圍是．