Question

函數f(x)=Asin(ωx+

π

3

)（其中A＞0，ω＞0）的振幅為2，周期為π．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的單調增區間；
（3）求f（x）在[-

π

2

，0]的值域．

Answer 1

分析：（1）利用振幅的定義和周期公式T=

2π

|ω|

，即可得出；
（2）利用正弦函數的單調性即可得出；
（3）由x∈[-

π

2

，0]，可得(2x+

π

3

)∈[-

2π

3

，

π

3

]．進而得到f（x）的單調遞減區間為[-

π

2

，-

5π

12

]；單調遞增區間為[-

5π

12

，0]．即可得到值域．

解答：解：（1）∵函數f(x)=Asin(ωx+

π

3

)（其中A＞0，ω＞0）的振幅為2，周期為π．
∴A=2，π=

2π

ω

．解得ω=2．
∴f(x)=2sin(2x+

π

3

)．
（2）由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，解得-

5

12

π+kπ≤x≤kπ+

π

12

（k∈Z）．
∴f（x）的單調增區間為[-

5π

12

+kπ，kπ+

π

12

](k∈Z)；
（3）∵x∈[-

π

2

，0]，∴(2x+

π

3

)∈[-

2π

3

，

π

3

]．
∴f（x）的單調遞減區間為[-

π

2

，-

5π

12

]；單調遞增區間為[-

5π

12

，0]．
∴當2x+

π

3

=-

π

2

時，即x=-

5π

12

時，函數f（x）取得最小值-2；
當x=0時，2x+

π

3

=

π

3

時，函數f（x）取得最大值2sin

π

3

=

3

．
故函數f（x）的值域為[-2，

3

]．

點評：熟練掌握三角函數的圖象與性質是解題的關鍵．