Question

在棱長都為a的正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，P是A₁B的中點．
（Ⅰ）求PC與平面ABB₁A₁所成的角；
（Ⅱ）求C₁到平面PAC的距離．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲求PC與平面ABB₁A₁所成的角，需找到PC在平面ABB₁A₁上的射影，PC與它的射影所成角即PC與平面ABB₁A₁所成的角，
要求PC在平面ABB₁A₁內的射影，只需過P向平面作垂線，找到垂足即可．根據正三棱柱的性質，可以判斷垂足在AB的中點，再把角放入三角形中，即可求出．
（Ⅱ）因為A1C1平行于平面PAC，所以C₁到平面PAC的距離與A₁到平面PAC的距離相等，只需求出A₁到平面PAC的距離，把A₁到平面PAC的距離看做三棱錐A₁-PAC的高，三棱錐A₁-PAC也可看做以三棱錐C-AA₁P，再利用等體積法，就可得到所求C₁到平面PAC的距離

解答：解：（Ⅰ）取AB的中點為O，連PO．
∵平面ABB₁A₁⊥平面ABC，∴CO⊥AB B₁A₁．
∴∠CPO是PC與平面ABB₁A₁所成的角．
∵CO=

3

2

a，PO=

1

2

a，
∴tan∠CPO=

3

，∠CPO=60°．
（Ⅱ）A₁C₁∥AC，∴A₁C₁∥平面PAC．
∴C₁到平面PAC的距離就是點A₁到平面PAC的距離，設為h．
取AB的中點D，則CD⊥平面ABB₁A₁，且CD=

3

2

a．
又知DP=

1

2

a，∴PC=a．
又AP=

2

2

a，求得S△PAC=

7

8

a2．
∵VC1-PAC=VA1-PAC=VC-PAA1，
∴

1

3

S△PAC•h=

1

3

S△PAA1•CD．∴

1

3

•

7

8

a2•h=

1

3

•

1

4

a2•

3

2

a
解得h=

21

7

a．

點評：本題主要考查了直線與平面所成角的大小的求法，以及點到直線的距離的求法，考查了學生的觀察力，空間想象力，以及計算能力．