Question

已知圓C過定點(diǎn)A（0，a）（a＞0），且在x軸上截得的弦MN的長為2a．
（1）求圓C的圓心的軌跡方程；
（2）設(shè)|AM|=m，|AN|=n，求

m

n

+

n

m

的最大值及此時(shí)圓C的方程．△ABC中，a，b，c是內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且lgsinA，lgsinB，lgsinC成等差數(shù)列，則下列兩條直線l₁：（sin²A）x+（sinA）y-a=0，l₂：（sin²B）x+（sinC）y-c=0的位置關(guān)系是（　　）

A．、重合

B．相交（不垂直）

C．垂直

D．平行

Answer 1

分析：（1）設(shè)圓C的圓心為C（x，y），圓的半徑 r=

x2+(y-a)2

，由圓C在x軸上截得的弦MN的長為2a．可得|y|²+a²=r²，整理可求．
（2）設(shè)∠MAN=θ，|AM|=m，|AN|=n，|MN|=2a，故m²+n²-2m•n•cosθ=4a²，由S△MAN=

1

2

mnsinθ=

1

2

•a•2a，

n

m

=2cosθ+2sinθ=2

2

sin(θ+

π

4

)≤2

2

，知當(dāng)θ=

π

4

時(shí)，

m

n

+

n

m

取最大值2

2

，由此能求出

m

n

+

n

m

的最大值及此時(shí)圓C的方程．
由等差數(shù)列的性質(zhì)得sin²B=sinA•sinC，分別化簡兩直線方程的一次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)之比的結(jié)果，從而得到兩條直線l₁：（sin²A）x+（sinA）y-a=0，l₂：（sin²B）x+（sinC）y-c=0的位置關(guān)系．

解答：解：（1）設(shè)圓C的圓心為C（x，y），
依題意圓的半徑   r=

x2+(y-a)2

，
∵圓C在x軸上截得的弦MN的長為2a．
∴|y|²+a²=r²，
故x²+（y-a）²=|y|²+a²，
∴x²=2ay，
∴圓C的圓心的軌跡方程為x²=2ay．
（2）設(shè)∠MAN=θ，
|AM|=m，|AN|=n，|MN|=2a，
∴m²+n²-2m•n•cosθ=4a²，
∵S△MAN=

1

2

mnsinθ=

1

2

•a•2a，
∴

n

m

=2cosθ+2sinθ=2

2

sin(θ+

π

4

)≤2

2

，
當(dāng)θ=

π

4

時(shí)，

m

n

+

n

m

取最大值2

2

，
∵∠MCN=2∠MAN=

π

2

，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(±

2

a，a)，
故

m

n

+

n

m

的最大值為2

2

，
此時(shí)圓C的方程為(x-

2

a)2+(y-a)2=2a2，
或(x+

2

a)2+(y-a)2=2a2．
由已知2lgsinB=lgsinA+lgsinC，得  lg（sinB）²=lg（sinA•sinC）．
∴sin²B=sinA•sinC．  
設(shè)l₁：a₁x+b₁y+c₁=0，l₂：a₂x+b₂y+c₂=0．
∵

a1

a2

=

sin2A

sin2B

=

sin2A

sinAsinC

=

sinA

sinC

，

b1

b2

=

sinA

sinC

，

c1

c2

=

-a

-c

=

-2RsinA

-2RsinC

=

sinA

sinC

，
∴

a1

a2

=

b1

b2

=

c1

c2

，
∴l(xiāng)₁與l₂重合，
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，圓的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，兩直線位置關(guān)系的判定方法．