Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若曲線在點(diǎn)處的切線斜率為1,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）在上單調(diào)遞增；（2）.

【解析】試題分析：（1）求出，由,∴，令求得 的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得 的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（2）時(shí)，恒成立等價(jià)于恒成立，討論、，兩種情況，分別利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，解不等式即可的結(jié)果.

試題解析：（1）∵ ,∴,∴，

∴ ,記，∴,

當(dāng)時(shí)，,單減；

當(dāng)時(shí)，, 單增，

∴,

故恒成立，所以在上單調(diào)遞增

（2）∵，令,∴，

當(dāng)時(shí)，,∴在上單增，∴.

ⅰ）當(dāng)即時(shí)，恒成立，即，∴在上單增，

∴，，所以．

ⅱ）當(dāng)即時(shí)，∵在上單增，且，

當(dāng) 時(shí)，，

∴使,即.

當(dāng)時(shí)，，即單減；

當(dāng)時(shí)，，即單增．

∴ ，

∴，，由，∴．

記,

∴，∴在上單調(diào)遞增，

∴，∴．

綜上.