Question

(本小題滿分16分)已知⊙和點.

（Ⅰ）過點向⊙引切線，求直線的方程；

（Ⅱ）求以點為圓心，且被直線截得的弦長4的⊙的方程；

（Ⅲ）設為（Ⅱ）中⊙上任一點，過點向⊙引切線，切點為Q. 試探究：平面內是否存在一定點，使得為定值？若存在，請舉出一例，并指出相應的定值；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

（Ⅰ） （Ⅱ）⊙的方程為（Ⅲ）可以找到這樣的定點，使得為定值.

解析:

（Ⅰ）設切線方程為 ，易得，解得……3分

  ∴切線方程為 ………………………………………………………5分

（Ⅱ）圓心到直線的距離為                    …………………………7分

設圓的半徑為，則   ………………………………………………9分

∴⊙的方程為  ………………………………………………… 10分

（Ⅲ）假設存在這樣的點，點的坐標為，相應的定值為，

根據題意可得，∴…………………………12分

即   （*），

又點在圓上∴，即，代入（*）式得：

  ………………………………14分

若系數對應相等，則等式恒成立，∴，

解得，

∴可以找到這樣的定點，使得為定值. 如點的坐標為時，比值為；

點的坐標為時，比值為…………………………………………………………16分