Question

【題目】設函數.

（1）求函數的極值點；

（2）設函數有兩個零點，求整數的最小值.

Answer 1

【答案】（1）的極大值點為0（2）2

【解析】

（1）對求導，，因為恒大于，所以的正負等價于的正負，構造新的函數，求導判斷的正負，從而求出的極值點；

（2）將的零點問題轉化為函數與函數圖像的交點問題，判斷的極大值的范圍，構造關于的極大值的函數，利用導數求得其范圍，從而得到的范圍，求出整數的最小值.

因為，

令，，

因為當，，所以在上為減函數，

因為，又因為在上為減函數.

當，，即，所以在為增函數，

當，，即，所以在為減函數，

所以的極大值點為0.

（2），

由題意函數有兩個零點，

可轉化為函數與函數的圖像有兩個交點，

令，則，

令，則，

即在上為減函數，

因為，，

，使得，即，

當，，即，所以在為增函數，

當，，即，所以在為減函數，

，

由得，所以，

代入得，

事實上，，即，

令，，，

帶入化簡得

，

又因為在區間為減函數，

所以，即，

所以，即，

所以整數的最小值為2.