Question

向量a=(1,cos2θ),b=(2,1),c=(4sinθ,1),d=(sinθ,1),其中θ∈(0,).

(1)求a·b-c·d的取值范圍；

(2)若函數f(x)=|x-1|,判斷f(a·b)與f(c·d)的大小，并說明理由.

Answer 1

解：(1)a·b=2+cos2θ,c·d=2sin²θ+1=2-cos2θ,

    ∵a·b-c·d=2cos2θ,

    ∴0＜θ＜.∴0＜2θ＜.

    ∴0＜cos2θ＜1.∴0＜2cos2θ＜2.

    ∴a·b-c·d的取值范圍是(0,2).

    (2)f(a·b)=|2+cos2θ-1|

    =|1+cos2θ|=2cos²θ,

    f(a·b)=|2-cos2θ-1|=|1-cos2θ|=2sin²θ,

    于是有f(a·b)-f(c·d)=2(cos²θ-sin²θ)=2cos2θ.

    ∵0＜θ＜,∴0＜2θ＜.

    ∴2cos2θ＞0.

    ∴f(a·b)＞f(c·d).