Question

函數f(x)=

x2-x4

|x-2|-2

．給出函數f（x）下列性質：（1）函數的定義域和值域均為[-1，1]；（2）函數的圖象關于原點成中心對稱；（3）函數在定義域上單調遞增；（4）∫Af(x)dx=0（其中A為函數的定義域）；（5）A、B為函數f（x）圖象上任意不同兩點，則

2

＜|AB|≤2．請寫出所有關于函數f（x）性質正確描述的序號

（2）（4）

．

Answer 1

分析：先求定義域，根據定義域化簡函數解析式；根據函數單調性、奇偶性的定義判斷單調性、奇偶性、研究長度；根據積分的幾何意義求積分值．

解答：解：要使函數有意義，需滿足

x2-x4≥0 |x-2|≠2

，
解得-1≤x≤1且x≠0，即函數的定義域為[-1，0）∪（0，1]，
故（1）不正確．
根據函數的定義域可將函數解析式化簡為f(x)=

x2-x4

2-x-2

=-

x2-x4

x

，
所以f(-x)=

x2-x4

x

=-f（x），即函數是奇函數，所以其圖象關于原點對稱；∫Af(x)dx=0（其中A為函數的定義域），
故（2）（4）正確．
因為函數的定義域是間斷的，
故（3）的說法是錯誤的．
由于A、B為函數f（x）圖象上任意不同兩點，所以|AB|＞0，而不是|AB|＞

2

，
故（5）的說法是錯誤的．
所以答案為（2）（4）．

點評：解決本題的關鍵是求出定義域后化簡解析式，要是直接研究其性質會很麻煩．