Question

已知點P（2，0）及圓C：x²+y²-6x+4y+4=0．
（1）若直線l過點P且被圓C截得的弦長為4

2

，求直線l的方程；
（2）設過點P的直線l₁與圓C交于M、N兩點，當P恰為MN的中點時，求以線段MN為直徑的圓Q的方程．

Answer 1

分析：（1）利用直線l的斜率存在與不存在兩種情況，通過圓心到直線的距離，半弦長，半徑滿足勾股定理，即可求直線l的方程；
（2）求出CP，通過弦心距、半徑、半弦長的關系，求出弦長就是直徑，即可求以線段MN為直徑的圓Q的方程．

解答：解：（1）設直線l的斜率為k（k存在），
則方程為y-0=k（x-2）．即kx-y-2k=0
又圓C的圓心為（3，-2），半徑r=3，
由題意知

|3k+2-2k|

k2+1

=

32-(2 2 )2

=1，解得k=-

3

4

．…（3分）
所以直線方程為y=-

3

4

(x-2)，
即 3x+4y-6=0．…（4分）
當l的斜率不存在時，l的方程為x=2，經驗證x=2也滿足條件．…（6分）
所以直線l的方程為x=2或3x+4y-6=0…（7分）
（2）由于|CP|=

5

，…（8分）  
所以弦心距d=

r2-( |MN| 2 )2

=

5

，則|MN|=4…（10分）
故以MN為直徑的圓Q的方程為（x-2）²+y²=4．…（12分）

點評：本題考查直線與圓的位置關系，直線與圓相切，相交，直線的交點，弦的中點，三角形的面積的最值直線方程等有關知識，考查計算能力，轉化思想，注意直線的斜率不存在的情況，容易疏忽，是易錯點．