Question

如圖所示，已知一次函數y=kx+b（b＞0）與二次函數y=

1

2

x2的圖象相交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點，其中x₂＞0且x₁x₂=-1，點F(0，b)，

AF

=t

FB

．
（1）求

OA

•

OB

的值
（2）當t=

3

2

時，求以原點為中心，F為一個焦點且過點B的橢圓方程．

Answer 1

分析：（1）由直線y=kx+b與拋物線y=

1

2

x2聯解，消去y得x²-2kx-2b=0，利用根與系數的關系算出x₁x₂=-2b=-1，解得b=

1

2

．由此可得y₁y₂=

1

4

x12x22=

1

4

，利用向量數量積的坐標公式，即可算出

OA

•

OB

的值；
（2）求出

AF

、

FB

的坐標，根據

AF

=t

FB

得t=-

x1

x2

=

1

x22

，結合t=

3

2

算出x₂²=

2

3

，從而得到B（

2 3

，

1

3

），再由點F（0，

1

2

）為所求橢圓的焦點，設橢圓的方程為

y2

a2

+

x2

a2- 1 4

=1，將點B的坐標代入解出a²=1，即可得到所求橢圓的標準方程．

解答：解：（1）由

y=kx+b y= 1 2 x2

消去y，得x²-2kx-2b=0．
∴x₁+x₂=2k，x₁x₂=-2b=-1，解得b=

1

2

．
因此，

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+

1

2

x12•

1

2

x22=-2b+

1

4

（-2b）²=-1+

1

4

=-

3

4

；
（2）∵

AF

=t

FB

，

AF

=（-x₁，b-y₁），

FB

=（x₂，y₂-b），
∴-x₁=tx₂，得t=-

x1

x2

=-

x1x2

x22

=

1

x22

，
由此可得x₂²=

1

t

，結合t=

3

2

得x₂²=

1

t

=

2

3

，
∵x₂＞0，∴x₂=

2 3

，y₂=

1

2

x₂²=

1

3

，可得B（

2 3

，

1

3

）
∵點F（0，b）即F（0，

1

2

），是橢圓的焦點．
∴以F為一個焦點的橢圓方程為

y2

a2

+

x2

a2- 1 4

=1（a＞

1

2

）
∵點B（

2 3

，

1

3

）在橢圓上，∴

1 9

a2

+

2 3

a2- 1 4

=1，解之得a²=1（a²=

1

36

舍去）．
因此，以原點為中心、為一個焦點且過點B的橢圓方程為y2+

4x2

3

=1．

點評：本題著重考查了向量的數量積、向量的線性運算性質、拋物線的簡單幾何性質、直線與圓錐曲線的位置關系和橢圓的標準方程等知識，屬于中檔題．