Question

等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB=EF．將此等腰梯形繞其上底邊EF所在的直線旋轉一定的角度到DCEF位置（如圖）．
（Ⅰ）可以直觀感知，四邊形ABCD是平行四邊形，請給出證明；
（Ⅱ）求證：EF⊥AD；
（Ⅲ）設AC、BD交于O點，請在線段EF上探求一點M，使得三棱錐M-FAD與三棱錐O-EBC體積相等．

Answer 1

解：（Ⅰ）證明：∵四邊形DCEF由四邊形ABEF旋轉所得，
∴AB=CD且AB∥EF，CD∥EF．
由平行公理得 AB∥DC．
∴四邊形ABCD為平行四邊形．
（Ⅱ）證明：過F作FM⊥AB于M，并設旋轉后M的對應點為N，連FN，
MN．
則CD⊥FN且AM=DN．
∵AB∥CD
∴AB⊥FN
∵MF∩NF=F，
∴AB⊥面MNF
∵MN?面MNF
∴AB⊥MN
∵AB∥CD且AM=DN
∴四邊形AMND為平行四邊形．
∴MN∥AD．
則AB⊥AD．
∵AB∥EF∴EF⊥AD．
（Ⅲ）∵EF∥AB，AB?面ABCD，EF?面ABCD∴EF∥面ABCD．
∴E到面ABCD的距離等于F到面ABCD的距離．
在矩形ABCD中，△AOD≌△COB，S_△AOD=S_△COB．
∴V_E-BOC=V_F-AOD．
∵V_E-BOC=V_O-EBC，V_F-AOD=V_O-FAD．
∴V_O-EBC=V_O-FAD．
設G為AD中點，在EF上取點M，使MF=，連OM、OG.．
∵EF∥AB．
∴EF∥OG．
則四邊形MFGO為平行四邊形．
∴MO∥FG．∵FG?面FAD，MO?面FAD，
∴MO∥面FAD．
則O到面FAD的距離等于M到面FAD的距離．
∴V_M-FAD=V_O-FAD．
∴V_M-FAD=V_O-EBC．
分析：（Ⅰ）CD與AB是同一線段在空間的不同位置，故長度相等．且均與EF平行．所以四邊形ABCD是平行四邊形
（Ⅱ）過F作FM⊥AB于M，并設旋轉后M的對應點為N，連FN，證出AB⊥面MNF，借助于EF∥AB，AD∥MN即可．
（Ⅲ）易知V_O-EBC=V_O-FAD．若三棱錐M-FAD與三棱錐O-EBC體積相等，則V_O-FAD=V_m-FAD，只需O，M到面FAD的距離相等即可．由此轉化為OM∥面FAD．
點評：本題考查線線，線面位置關系及判定，三棱錐體積的計算，考查空間想象能力，分析解決問題能力，轉化的思想方法．