Question

已知函數(shù)f（x）=4x²-4ax+a²-2a+2
（1）當(dāng)a=0時(shí)，求f（x）=4x²-4ax+a²-2a+2在區(qū)間[0，2]上的最大值和最小值．
（2）若函數(shù)f（x）=4x²-4ax+a²-2a+2在區(qū)間[0，2]上的最小值為3，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析：（1）把a(bǔ)=0代入f（x），對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)及其圖象進(jìn)行求解；
（2）已知函數(shù)f（x）=4x²-4ax+a²-2a+2，對(duì)其進(jìn)行配方得到對(duì)稱軸，利用分類討論的方法進(jìn)行求解；

解答：解：（1）當(dāng)a=0，f（x）=4x²-4ax+a²-2a+2=4x²+2，在（0，+∞）上為增函數(shù)，開口向上，
∴f（x）在x=0處取得最小值，f（x）_min=f（0）=2，
在x=2處取得最大值，f（x）_max=f（2）=18；
（2）函數(shù)f（x）=4x²-4ax+a²-2a+2=4（x-

a

2

）²-a²+a²-2a+2=4（x-

a

2

）²-2a+2，開口向上，
在區(qū)間[0，2]上的最小值為3，
若a≤0，可得f（x）在[0，2]上為增函數(shù)，f（x）_min=f（0）=a²-2a+2=3，
解得a=1±

2

，∵a＜0，
∴a=1-

2

；
若0＜a＜4，可得0≤

a

2

≤2，f（x）在x=

a

2

上取最小值，f（x）_min=f（

a

2

）=-2a+2=3，
解得a=-

1

2

，（舍去）；
若a≥4時(shí)，f（x）在[0，2]上為減函數(shù)，f（x）_min=f（2）=16-a+a²-2a+2=3，
解得a無解，
綜上：a=1-

2

；

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，解題的過程中用到了分類討論的數(shù)學(xué)思想，這也是高考的熱點(diǎn)問題，本題是一道基礎(chǔ)題；