Question

設數列{a_n}的通項公式為a_n=pn+q（n∈N^*，P＞0）．數列{b_n}定義如下：對于正整數m，b_m是使得不等式a_n≥m成立的所有n中的最小值．
（Ⅰ）若p=

1

2

，q=-

1

3

，求b₃；
（Ⅱ）若p=2，q=-1，求數列{b_m}的前2m項和公式；
（Ⅲ）是否存在p和q，使得b_m=3m+2（m∈N^*）？如果存在，求p和q的取值范圍；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先得出a_n，再解關于n的不等式，利用正整數的條件得出具體結果；
（Ⅱ）先得出a_n，再解關于n的不等式，根據{b_n}的定義求得b_n再求得S_2m；
（Ⅲ）根據b_m的定義轉化關于m的不等式恒成立問題．

解答：解：（Ⅰ）由題意，得an=

1

2

n-

1

3

，
解

1

2

n-

1

3

≥3，得n≥

20

3

．
∴

1

2

n-

1

3

≥3成立的所有n中的最小正整數為7，即b₃=7．

（Ⅱ）由題意，得a_n=2n-1，
對于正整數m，由a_n≥m，得n≥

m+1

2

．
根據b_m的定義可知
當m=2k-1時，b_m=k（k∈N^*）；
當m=2k時，b_m=k+1（k∈N^*）．
∴b₁+b₂+…+b_2m=（b₁+b₃+…+b_2m-1）+（b₂+b₄+…+b_2m）=（1+2+3+…+m）+[2+3+4+…+（m+1）]=

m(m+1)

2

+

m(m+3)

2

=m2+2m．

（Ⅲ）假設存在p和q滿足條件，由不等式pn+q≥m及p＞0得n≥

m-q

p

．
∵b_m=3m+2（m∈N^*），根據b_m的定義可知，對于任意的正整數m都有3m+1＜

m-q

p

≤3m+2，
即-2p-q≤（3p-1）m＜-p-q對任意的正整數m都成立．
當3p-1＞0（或3p-1＜0）時，得m＜-

p+q

3p-1

（或m≤-

2p+q

3p-1

），這與上述結論矛盾！
當3p-1=0，即p=

1

3

時，得-

2

3

-q≤0＜-

1

3

-q，
解得-

2

3

≤q＜-

1

3

．（經檢驗符合題意）
∴存在p和q，使得b_m=3m+2（m∈N^*）；p和q的取值范圍分別是p=

1

3

，-

2

3

≤q＜-

1

3

．

點評：本題主要考查數列的概念、數列的基本性質，考查運算能力、推理論證能力、分類討論等數學思想方法．本題是數列與不等式綜合的較難層次題．