Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，過(guò)右焦點(diǎn)F且斜率為k（k＞0）的直線于C相交于A、B兩點(diǎn)，若

AF

=3

FB

．則k=（　�。�

• A、1
• B、

  2

• C、

  3

• D、2

Answer 1

分析：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根據(jù)

AF

=3

FB

求得y₁和y₂關(guān)系根據(jù)離心率設(shè)a=2t，c=

3

t，b=t，代入橢圓方程與直線方程聯(lián)立，消去x，根據(jù)韋達(dá)定理表示出y₁+y₂和y₁y₂，進(jìn)而根據(jù)y₁和y₂關(guān)系求得k．

解答：解：A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵

AF

=3

FB

，∴y₁=-3y₂，
∵e=

3

2

，設(shè)a=2t，c=

3

t，b=t，
∴x²+4y²-4t²=0①，
設(shè)直線AB方程為x=sy+

3

t，代入①中消去x，可得(s2+4)y2+2

3

sty-t2=0，
∴y1+y2=-

2 3 st

s2+4

，y1y2=-

t2

s2+4

，-2y2=-

2 3 st

s2+4

，-3

y

2 2

=-

t2

s2+4

，
解得s2=

1

2

，k=

2

故選B

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．此類題問(wèn)題綜合性強(qiáng)，要求考生有較高地轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用能力，能將已知條件轉(zhuǎn)化到基本知識(shí)的運(yùn)用．