Question

已知f（x）是定義在R上的函數，對任意x∈R都有f（x+4）=f（x）+2f（2），若函數f（x-1）的圖象關于直線x=1對稱，且f（1）=2，則f（2011）等于

1. A.
   2
2. B.
   3
3. C.
   4
4. D.
   6

Answer 1

A
分析：先由函數f（x-1）的圖象關于直線x=1對稱，得函數f（x）的圖象關于直線x=0對稱，即函數f（x）是偶函數，故有f（-x）=f（x）．再把-2代入f（x+4）=f（x）+2f（2），可得函數周期為4；就把f（2011）轉化為f（3）=f（-1）=f（1）即可求解．
解答：因為函數f（x-1）的圖象關于直線x=1對稱，
所以函數f（x）的圖象關于直線x=0對稱，即函數f（x）是偶函數，故有f（-x）=f（x）．
∵對任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+2f（2），
∴f（-2+4）=f（-2）+2f（2）?f（-2）+f（2）=0?2f（2）=0?f（2）=0
∴f（x+4）=f（x）+2f（2）=f（x）．即函數周期為4．
∴f（2011）=f（4×502+3）=f（3）=f（-1）=f（1）=2．
故選A．
點評：本題主要考查抽象函數的奇偶性、周期性等，抽象函數是相對于給出具體解析式的函數來說的，它雖然沒有具體的表達式，但是有一定的對應法則，滿足一定的性質，這種對應法則及函數的相應的性質是解決問題的關鍵．