Question

已知函數．

(1)函數在區間(0，+∞)_k是增函數還是增函數?證明你的結論；

(2)當>0時，>恒成立，求正整數的最大值．

Answer 1

解：(1)

=

∵>0，∴²>0，>o，ln(+1)>0，

∴<0．

因此函數在區間(0，+∞)上是減函數．

(2)當>0時，>恒成立，

令=1，有<2(1+ln2)．

又為正整數，∴的最大值不大于3．

下面證明當=3時，>(>0)恒成立，

即證當>0時，(+1)ln(+1)+1―2>0恒成立

令g()=(+1)ln(+1)+1―2，

則g’()=ln(+1)―1，

當>e^一1時，g’()>0；當0<<e一1時，g’()<0，

∴當=e一1時，g()取得最小值g(e-1)=3一e>0．

當>0時，(+1)ln(+1)+1―2>0恒成立．

因此正整數的最大值為3．