Question

三棱錐P?ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC。

（１）證明：平面PAB⊥平面PBC；
（２）若PA=，PC與側面APB所成角的余弦值為，PB與底面ABC成60°角，求二面角B―PC―A的大小。

Answer 1

（1）證明詳見解析；（2）60°

試題分析：（Ⅰ）先利用線面垂直的判定定理證明BC⊥平面PAB，再利用面面垂直的判定定理證明平面PAB⊥平面PBC；（2）過A作則ÐEFA為所求.然后求出AB=,PB=2,PC=3及AE,AF，在RtAEF中求解即可.
試題解析： (1)證明：∵PA^面ABC,\PA^BC,   ∵AB^BC,且PA∩AB=A,\BC^面PAB
而BCÌ面PBC中,\面PAB^面PBC. ……5分
(2)過A作

則ÐEFA為B?PC?A的二面角的平面角     8分
由PA=,在RtDPBC中,cosÐCPB=.
RtDPAB中,ÐPBA=60°. \AB=,PB=2,PC=3  \AE=  =
同理：AF=         10分
∴sin==,        11分
∴=60°.          12分
另解：向量法：由題可知：AB=,BC=1,建立如圖所示的空間直角坐標系        7分
B(0,0,0),C(1,0,0),A(0,,0),P(0,,),假設平面BPC的法向量為=(x₁,y₁,z₁),
∴
取z₁=，可得平面BPC法向量為=(0,?3,)      9分
同理PCA的法向量為=(2,?,0)              11分
∴cos<,>==,所求的角為60°         12分