Question

【題目】已知函數f（x）=（x+1）e2x ， g（x）=aln（x+1）+ x2+（3﹣a）x+a（a∈R）．
（1）當a=9，求函數y=g（x）的單調區間；
（2）若f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=9時，g（x）=9ln（x+1）+ x2﹣6x+9，

g′（x）= ，（x＞﹣1），

由g′（x）＞0，解得：﹣1＜x＜1或x＞2，

由g′（x）＜0，解得：1＜x＜2，

∴g（x）在（﹣1，1）遞增，在（1，2）遞減，在（2，+∞）遞增

（2）解：由f（x）≥g（x），得：（x+1）e2x≥aln（x+1）+ x2+（3﹣a）x+a，

令h（x）=（x+1）e2x﹣aln（x+1）﹣ x2﹣（3﹣a）x﹣a，

①a≥0時，h′（x）=（2x+3）e2x﹣ ﹣ x+（a﹣3），

1°，x=0時，h′（x）=0，

2°，x∈（﹣1，0）時，h′（x）＜（2x+3）e2x﹣ ﹣2x+（a﹣3）=（2x+3）（e2x﹣1）+a（1﹣ ）＜0，

3°，x∈（0，+∞）時，h′（x）＞（2x+3）e2x﹣ ﹣2x+（a﹣3）=（2x+3）（e2x﹣1）+a（1﹣ ）＞0，

∴h（x）在（﹣1，0）遞減，在（0，+∞）遞增，

∴h（x）的最小值是h（0）=1﹣a，

則 ，解得：0≤a≤1；

②a＜0時，x∈（﹣1，0）時，f（x）∈（0，1），即f（x）＜1，

而對于函數g（x），不妨令x=﹣1+ ，

有g（x）=aln（x+1）+ x2+（3﹣a）x+a＞aln（x+1）+2a﹣3=aln（﹣1+ +1）+2a﹣3=1，

故在（﹣1，0）內存在﹣1+ ，使得g（x）＞f（x），f（x）≥g（x）b不恒成立，

綜上，a的范圍是[0，1]

【解析】（1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；（2）令h（x）=（x+1）e2x﹣aln（x+1）﹣ x2﹣（3﹣a）x﹣a，通過討論a的范圍，求出函數的導數，結合函數的單調性求出a的具體范圍即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解利用導數研究函數的單調性(一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減)，還要掌握函數的最大(小)值與導數(求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值)的相關知識才是答題的關鍵．