Question

數列{a_n}各項均為正數，其前n項和為S_n，且滿足2anSn-an2=1．
（Ⅰ）求證數列{

S

2 n

}為等差數列，并求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=

2

4S 4 n -1

，求數列{b_n}的前n項和T_n，并求使T_n＞

1

6

（m²-3m） 對所有的n∈N^*都成立的最大正整數m的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據數列遞推式，再寫一式，兩式相減，即可證得數列{

S

2 n

}為等差數列，求出{S_n}的通項，即可求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）利用裂項法求數列{b_n}的前n項和，再求最值，利用T_n＞

1

6

（m²-3m），即可求得結論．

解答：（Ⅰ）證明：∵2anSn-an2=1，∴當n≥2時，2(Sn-Sn-1)Sn-(Sn-Sn-1)2=1，
整理得，Sn2-Sn-12=1（n≥2），（2分）
又S12=1，（3分）
∴數列{

S

2 n

}為首項和公差都是1的等差數列．              （4分）
∴

S

2 n

=n，
又S_n＞0，∴S_n=

n

                       （5分）
∴n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=

n

-

n-1

，又a₁=S₁=1適合此式
∴數列{a_n}的通項公式為a_n=

n

-

n-1

；（（7分）
（Ⅱ）解：∵b_n=

2

4S 4 n -1

=

2

(2n-1)(2n+1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1

（8分）
∴T_n=1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

=1-

1

2n+1

=

2n

2n+1

（10分）
∴T_n≥

2

3

，
依題意有

2

3

＞

1

6

（m²-3m），解得-1＜m＜4，
故所求最大正整數m的值為3   （12分）

點評：本題考查等差數列的證明，考查數列的求和，考查解不等式，屬于中檔題．