Question

如右圖所示,已知直四棱柱的底面是菱形，且，為的中點，為線段的中點。

(1)求證：直線平面 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m               

 (2)求證：直線平面 

(3)求平面與平面所成二面角的大小。

 

 

Answer 1

解法一:（1）設AC與BD交于點O，因為點M、F分別為、的中點，所以，又，――――3分

（2）因為底面為菱形且，所以四邊形與全等，又點F為中點，所以，在等腰△中，因為，所以，可得，

所以（線面垂直判定定理）――――7分

（3）延長，連接AQ，則AQ為平面與平面ABCD的交線.所以FB為△的中位線, 則QB=BC,設底面菱形邊長為a,可得AB=QB=a,又 所以 那么△ABQ為等邊三角形.取AQ中點N,連接BN、FN，則為所求二面角的平面角或其補角.在△FNB中,  

――――11分   即

平面與平面ABCD所成二面角的平面角或―12分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m               

解法二:設，因為分別為的中點，∴∥

又由直四棱柱知，∴

在棱形ABCD中，，∴OB、OC、OM兩兩垂直，故可以O為原點，OB、OC、OM所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖所示。――――2分

若設，則

B，，，， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m               

(1)由F、M分別為中點可知,M(0，0，1)

∴(1，0，0)＝，又因為MF和OB不共線，

∴∥OB又因為,OB平面ABCD，

∴MF∥平面ABCD――――5分

(2)，而（1，0，0）為平面yOz（亦即平面）的法向量

∴直線MF⊥平面――――8分

(3)為平面ABCD的法向量，

設為平面的一個法向量，則，

由，，得：

令y=1，得z=，此時

設平面與平面ABCD所成二面角的大小為，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m               

則

所以或，即平面與平面ABCD所成二面角的大小為或――――12分