Question

（本題滿分12分）如圖,在三棱柱中,側面底面,,,且為中點.

(I)證明:平面;

(II)求直線與平面所成角的正弦值;

(III)在上是否存在一點,使得平面,若不存在,說明理由;若存在,確定點的位置.

 

Answer 1

【答案】

(I)證明見解析

(II)

(III) 存在這樣的點E,E為的中點

【解析】(1)因為側面底面,所以只需證明即可.

（2）可以以O為原點，ＯＮ，ＯＣ，ＯＡ_１所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系，然后用向量的方法求解線面角的問題.

（3）在（2）的基礎上也可以用向量來求點E位置.也可以取BC的中點M，連接OM，取BC₁的中點E，連接ME，則OM//AB，ME//BB₁//AA₁，所以平面OMB//平面AA₁B，所以OE//平面.從而確定E為BC₁的中點.

(Ⅰ)證明:因為,且O為AC的中點,

所以 

又由題意可知,平面平面,交線為,且平面,

所以平面 

(Ⅱ)如圖,以O為原點,所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系.

由題意可知,又 

所以得: 

則有: 

設平面的一個法向量為,則有

,令,得 

所以 

 

因為直線與平面所成角和向量與所成銳角互余,所以 

(Ⅲ)設 

即,得 

所以得 

令平面,得 , 

即得 

即存在這樣的點E,E為的中點